Les Marmottes qui sifflent · Chapitre 1
L’histoire des marmottes
⏱ environ 7 minutes à voix haute
L’été… et l’hiver
En été, tout le monde connaît les marmottes. Elles passent leurs journées à sortir de leurs trous, à courir sur le terrain, à rigoler et à siffler à plein poumons. C’est leur manière d’être : elles adorent s’amuser. Mais quand l’hiver arrive, les humains s’imaginent qu’elles passent toute la saison à hiberner et à dormir profondément. Mais en réalité, ce n’est pas du tout prouvé !
Quand la neige recouvre la montagne, les marmottes secouent leurs petites fesses poilues, enfilent leurs mini-skis et s’exclament : « Ski ! Ski ! » Elles aussi veulent s’amuser. Et leur grand jeu de l’hiver, leur activité préférée entre toutes, c’est de faire tomber les humains. Pour réussir leur coup, elles se cachent juste sous la surface de la neige, tendent leurs petits bras, et s’attaquent à chaque personne qui passe avec une stratégie bien précise pour marquer un maximum de points.
Le barème des points
Les skieurs de fond — 1 point. Les fondeurs, c’est presque trop facile. Ils avancent tranquillement, pas après pas, sur des skis tout fins, à peine plus larges que leurs chaussures, et leur talon se soulève à chaque pas. Il suffit qu’une marmotte tire un tout petit peu sur un ski pour que le fondeur vacille et s’assoie dans la neige. Trop facile pour être un exploit : ça ne rapporte que 1 point.
Les snowboardeurs — 2 points. Les snowboardeurs, c’est frustrant. La planche est bien trop large : même la plus grande marmotte n’a pas les bras assez longs pour attraper les deux côtés. Alors, elle appuie de toutes ses forces sur un seul bord. Le snowboardeur vacille, mouline des bras… et la plupart du temps, il se rattrape. Quand il finit quand même par tomber, ça rapporte 2 points.
Les skieurs classiques — 5 points. Pour les skieurs classiques, c’est plus technique, car ils descendent la piste beaucoup trop vite ! Le temps de tendre les bras, le skieur est déjà loin. Mais quand la marmotte réussit à attraper un ski au passage, et hop ! Le skieur fait une immense culbute, la tête la première dans la poudreuse. Un croche-patte ultra-rapide à un éclair en combinaison fluo rapporte 5 points.
Les télémarkeurs — 10 points. Mais le dahu du score, le grand chelem de la montagne, c’est le télémarkeur ! Eux, ils font complètement tourner la tête des marmottes. Avec leur talon libre, ils passent leur temps à plier le genou et à descendre très bas. La marmotte essaie d’attraper le ski, mais il baisse le genou et lui tape presque sur le nez ! Ce mouvement perturbe totalement les marmottes qui croient parfois que le télémarkeur leur fait une danse. L’histoire dit d’ailleurs que les marmottes gagnent beaucoup plus de points lorsqu’elles font tomber un télémarkeur ! Réussir à bloquer ce talon libre en mouvement, c’est l’exploit suprême : cela rapporte un bonus de 10 points direct !
Le soir, au terrier
En fin de journée, quand les pistes ferment et que les humains rentrent fatigués, les marmottes se rejoignent toutes ensemble dans leur grand terrier secret pour faire les comptes. On sort la calculatrice en écorce de sapin et on compte les points de la journée.
Ce soir-là, Capucine annonce fièrement ses 17 points : 3 fondeurs, 2 snowboardeurs et un télémarkeur ! Mais Anatole se met à siffler. Il n’a fait tomber que 4 skieurs… et cela lui fait 20 points. C’est lui le champion du jour !
Une fois les scores validés, la tradition est sacrée : la marmotte qui a gagné le plus de points doit offrir un bon et copieux repas à toutes les autres. Ce soir, c’est donc Anatole qui régale. Autour d’une immense table de fête remplie de racines d’or, de graines séchées et de fromage d’alpage volé dans les sacs à dos, les victuailles défilent.
C’est le moment d’une bonne grosse rigolade ! Le champion du jour mime les chutes les plus drôles, imitant le skieur classique qui lève un pied en l’air ou le snowboardeur en plein déséquilibre. Toutes les marmottes se tordent de rire, sifflent de joie et trinquent à la santé des télémarkeurs, en espérant qu’ils seront encore nombreux sur les pistes le lendemain !
🎵 Le sifflet — la question
- Pourquoi un télémarkeur rapporte-t-il plus de points qu’un snowboardeur ? Et toi, si tu inventais un jeu, comment donnerais-tu les points ?
- Les marmottes rigolent beaucoup quand les humains tombent. Est-ce qu’on peut rire de quelqu’un qui tombe ? Quand est-ce que c’est drôle, et quand est-ce que ça ne l’est plus ?
- Le soir, c’est Anatole, le gagnant, qui offre le repas à toutes les autres. Pourquoi lui, et pas les perdantes ? Qu’en penses-tu ?
Pour continuer
Pour celles et ceux qui ont envie de continuer, quel que soit leur âge.
🔭 Pour les plus grands
Compter avec un barème
Les marmottes ne comptent pas seulement les chutes : elles comptent des points, et chaque chute ne vaut pas la même chose. Une liste qui dit combien vaut chaque action s’appelle un barème.
Reprenons les comptes du soir :
Capucine a fait tomber 3 fondeurs, 2 snowboardeurs et 1 télémarkeur :
3 × 1 + 2 × 2 + 1 × 10 = 17 points
Anatole n’a fait tomber que 4 skieurs :
4 × 5 = 20 points
Anatole a fait tomber moins de monde que Capucine (4 contre 6), et pourtant il gagne ! Parce que dans un barème, ce qui compte, ce n’est pas seulement combien, c’est aussi quoi. Les mathématiciens appellent cela une somme pondérée : chaque chose compte avec son propre « poids ».
Pour fixer les poids, les marmottes ont suivi une règle simple : plus c’est difficile, plus ça rapporte. C’est pour cela que le fondeur, qui tombe presque tout seul, ne rapporte que 1 point, et que le skieur, qui file comme un éclair, en rapporte 5.
Cela pose une vraie question : un barème doit-il récompenser l’effort ou le résultat ? La marmotte qui s’est donné du mal toute la journée sous la planche des snowboardeurs, sans en faire tomber un seul, mérite-t-elle moins que celle qui a fait asseoir trois fondeurs d’une pichenette ?
Beaucoup de sports humains ont aussi des barèmes :
- Au basket, un panier vaut 2 ou 3 points selon la distance, et un lancer franc 1 point.
- Au rugby, un essai vaut 5 points et une pénalité 3.
Mais il y a un problème : toute la colonie joue, tous les jours, tout l’hiver. Cela fait des centaines de chutes à additionner, et la calculatrice en écorce de sapin commence à fumer… Il faudra bientôt trouver une meilleure machine à compter.
💭 Pour les adultes
Pourquoi se compliquer la vie ?
Les marmottes pourraient faire tomber les humains n’importe comment, et s’arrêter là. Au lieu de cela, elles s’inventent des règles : un barème, des comptes le soir, un repas offert par le gagnant. Et celui dont elles rêvent, c’est le télémarkeur, le plus difficile de tous. Le philosophe Bernard Suits (The Grasshopper, 1978) en a tiré une définition du jeu : jouer, c’est « tenter volontairement de surmonter des obstacles inutiles ». Personne n’oblige les marmottes à suivre ces règles : c’est justement ce qui en fait un jeu.
Rien, dans la nature, ne dit qu’un télémarkeur vaut dix snowboardeurs. C’est une convention. Mais une fois acceptée, elle change les désirs : les marmottes se mettent à espérer des télémarkeurs. Nos propres barèmes (notes, salaires, classements, « likes ») fonctionnent de la même manière : ils mesurent ce qui compte, puis finissent par décider de ce qui compte.
Le repas du soir renverse la logique de la compétition : la victoire ne rapporte rien, elle oblige à donner. Marcel Mauss (Essai sur le don, 1925) a décrit des sociétés où le prestige vient de ce que l’on offre, et non de ce que l’on garde.
Reste une question que le récit laisse ouverte : les humains, eux, n’ont jamais accepté d’entrer dans le jeu. Un jeu peut-il être joyeux pour ceux qui le jouent et injuste pour ceux qui le subissent ?
📐 Pour aller plus loin
Un barème, c’est un produit scalaire
Reprenons les comptes du soir dans le terrier : Capucine a fait tomber 3 fondeurs, 2 snowboardeurs et 1 télémarkeur (17 points), Anatole 4 skieurs (20 points).
Rangeons les chutes d’une marmotte dans une liste de quatre nombres, toujours dans le même ordre : fondeurs, snowboardeurs, skieurs, télémarkeurs.
Pour Capucine, c = (3, 2, 0, 1).
Pour Anatole, a = (0, 0, 4, 0).
Le barème est une autre liste du même genre : p = (1, 2, 5, 10).
Le score est la somme des produits terme à terme :
p · c = 1 × 3 + 2 × 2 + 5 × 0 + 10 × 1 = 17
p · a = 1 × 0 + 2 × 0 + 5 × 4 + 10 × 0 = 20
En mathématiques, ces listes sont des vecteurs, et cette opération s’appelle le produit scalaire.
Le barème choisit le gagnant
Anatole gagne si :
p · a > p · c
c’est-à-dire si :
p · (a − c) > 0, avec a − c = (−3, −2, 4, −1)
Gardons les trois premiers poids et laissons libre celui du télémarkeur, noté t. Il faut :
−3 − 4 + 20 − t > 0
soit :
t < 13
Avec t = 13, c’est l’égalité parfaite. Au-delà, Capucine gagne… et c’est elle qui offre le repas.
Vu de plus haut : les barèmes possibles forment un espace à quatre dimensions. L’équation
p · (a − c) = 0
y trace un hyperplan qui passe par l’origine (en deux dimensions, ce serait une droite ; en trois, un plan).
- D’un côté, tous les barèmes qui font gagner Anatole.
- De l’autre, tous ceux qui font gagner Capucine.
Quand le barème ne sert plus à rien
Si une marmotte a fait tomber au moins autant de personnes que l’autre dans chaque catégorie, et strictement plus dans l’une d’elles, elle gagne avec n’importe quel barème aux poids positifs : on dit qu’elle la domine, au sens de l’économiste Vilfredo Pareto. Dans tous les autres cas, comme pour Capucine et Anatole, le vecteur a − c a des composantes positives et des composantes négatives. Il existe alors toujours un barème positif qui fait gagner l’une, et un autre qui fait gagner l’autre : il suffit de donner beaucoup de poids aux catégories où chacune est la meilleure. En optimisation, choisir des poids pour départager des solutions dont aucune ne domine les autres s’appelle la scalarisation.
Un barème qui n’est pas une droite
Le barème des marmottes est linéaire : deux télémarkeurs valent exactement deux fois un télémarkeur. Ce n’est pas toujours le cas. Au décathlon, chaque course rapporte des points selon une formule de la forme :
points = A × (B − T)^C
où T est le temps en secondes. Pour le 100 mètres des hommes, chronométré électroniquement :
- A = 25,4347
- B = 18
- C = 1,81
Courir en 10,4 secondes rapporte alors :
25,4347 × (18 − 10,4)^1,81 = 999,3… soit 999 points
(les points sont toujours arrondis à l’unité inférieure).
Comme l’exposant C est plus grand que 1, chaque dixième de seconde gagné rapporte un peu plus que le précédent : le barème récompense davantage les progrès au plus haut niveau.
Sources
- Stephen Boyd et Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004, libre en ligne (PDF) : hyperplans et demi-espaces (§ 2.2.1), points optimaux de Pareto (§ 4.7.3) et scalarisation (§ 4.7.4).
- Vilfredo Pareto, Manuel d’économie politique, Paris, V. Giard et E. Brière, 1909.
- IAAF (aujourd’hui World Athletics), Scoring Tables for Combined Events, édition 2001, réimprimée en 2016, en anglais et en français : les formules et les constantes (p. 22), et l’exemple du 100 mètres en 10,40 secondes, 999 points (p. 23).
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La suite arrive bientôt.